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Bib 13 - L'infini
Collectif Tangente
Présentation
SOMMAIREDossier 1 : Du fini à l'infini et réciproquement
Penser l'infini nécessite quelques efforts ou remises en question : contester par exemple l'axiome intuitif qui postule que le tout est plus grand que la partie, ou admettre qu'un même nombre puisse avoir deux écritures décimales différentes’
Le cauchemar du bibliothécaire / Différents mais tous égaux / De l'infini au fini en géométrie / L'inversion / Le fini en topologie : les compacts / Fini, discret et continu en probabilités / L'univers est-il fini ou infini? / La méthode de Monte Carlo
Dossier 2 : Raisonner avec l'infini
La bijection et la récurrence sont des outils pratiques qui font partie de l'artillerie dont disposent les mathématiciens pour raisonner avec l'infini, énoncer une infinité de vérités, donner un sens à une somme infinie de nombres, etc.
Pour scruter, l'infini, la bijection / L'introduction mathématique : la récurrence / Quand la récurrence a de l'imagination / La descente infinie / Les sommes infinies de Leonhard Euler / L'analyse non-standard, une théorie des ordres de grandeur / L'axiome du choix / Le théorème de Cantor-Schröder-Bernstein
Dossier 3 : Discret et continu
Le discret et le continu sont deux notions parmi les plus fondamentales qui structurent les mathématiques; la première est formalisée par les entiers naturels, la seconde par les nombres réels.
Les rationnels pour atteindre les réels / Étiqueter les rationnels / Le labyrinthe du continu / La diagonale de Cantor / Combien pèsent les rationnels / Jeux et problèmes / La constante de Planck / Jeux et problèmes / Les tribulations d'un moine zen / L'intuitionnisme / Avec trois fois rien
Dossier 4 : Les paradoxes de l'infini
Les paradoxes sont la voie royale pour accéder aux vérités les plus profondes. À commencer par celle qui affirme qu'il existe une infinité d'infinis différents.
Hôtel Hilbert / Êtes-vous incohérent’ / Le paradoxe de la biographie / Le paradoxe de Jules Richard / Le paradoxe du menteur revisité / Les nombres d'ordre ou le transfini
Et toujours
Notes de lecture - en bref - jeux et problèmes - solutions
Note de lecture Tangente
Tout ce que vous avez toujours voulu savoir sur l\'infini
Si vous êtes un « vieil » abonné à Tangente, vous le possédez forcément. Mais si ce n’est pas le cas, c’est une bonne occasion de vous le procurer. Le numéro 13 de la Bibliothèque Tangente est un recueil de tout ce qu’un honnête homme a besoin de savoir sur l’infini.
Comment définir l’infini ? Comment énoncer une infinité de vérités ? Comment donner un sens à une somme infinie de nombres ? Ces questions sont d’autant plus épineuses que l’infini s’avère multiple : il est dénombrable ou non, discret ou continu, il soulève des problèmes différents pour le physicien, le probabiliste ou le spécialiste en topologie. La tentation d’appréhender l’infini comme prolongement du fini est immédiate. Cependant une telle démarche est parfois source de paradoxes, défiant notre intuition de cardinal ou d’ordre de grandeur. Pour l’aborder, les mathématiciens ont dû réapprendre à raisonner et se doter d’outils spécifiques, qui se nomment récurrence, bijection, inversion géométrique…
C’est ce que nous apprend la première partie, « Du fini à l’infini et réciproquement ». Connaissez-vous l’équivalent des ensembles finis en topologie ? On les appelle des compacts. Quant aux probabilités sur des ensembles infinis, elles mènent à des méthodes surprenantes qui consistent, quand on ignore la taille d’un objet, à faire des tirages aléatoires pour la mesurer.
« Raisonner avec l’infini », c’est d’ailleurs le titre de la deuxième partie de l’ouvrage. De la récurrence à la descente infinie, de l’analyse non standard au calcul sur les séries, de l’axiome du choix à l’axiome (ou « hypothèse ») du continu, point de départ de la troisième partie : « Discret et continu ». On y redécouvre toutes les façons de définir les nombres réels, méthodes autrefois très en vogue, en faisant des incursions en physique mathématique ou en philosophie. De là à nager en pleins paradoxes, il n’y a qu’un pas, franchi dans la dernière partie, « Les paradoxes de l’infini ». Hôtel Hilbert, paradoxe de la biographie, de Jules Richard, du menteur revisité…
Un voyage dans l’infini qu’il faut avoir fait !
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