Bib 63 - Les nombres complexes

Parution: 05 - 2018

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Dossier : D'où viennent les complexes ?
Les nombres irrationnels, le zéro, les nombres négatifs ont mis des siècles à être acceptés par les mathématiciens. Ce fut également le cas des nombres complexes. À l'origine de leur –tardive –introduction, il y avait le souhait de résoudre les équations algébriques, en particulier celles du deuxième degré dans le cas le plus général. C'est donc d'un besoin bien réel qu'a émergé cette idée folle d'introduire un nouveau concept, celui de nombre « imaginaire », dont le carré serait –1, un nombre strictement négatif... qui a donné naissance à la notion de complexe !

Dossier : Approche algébrique
L'introduction des nombres complexes fut un acte d'une audace intellectuelle et d'une hardiesse inouïes. Elle a débouché sur un concept puissant, la structure de corps algébriquement clos, c'est-à-dire d'ensemble muni de deux opérations dans lequel toute équation algébrique admet une solution. Mais les complexes ne peuvent pas tout ! Même pour les polynômes à coefficients réels, certaines conjectures, pourtant élémentaires à énoncer, restent aujourd'hui hors d'atteinte...

Dossier : Représentations géométriques
À tout seigneur, tout honneur : la géométrie est la première à profiter de l'introduction des nombres imaginaires. Dans la mesure où un nombre complexe peut être identifié à un point du plan, une puissante relation entre algèbre et géométrie a vu le jour. Cette représentation permet d’« encoder » adroitement une transformation, de « capturer » judicieusement le lieu d’un point qui se déplace...
Homothéties, similitudes, inversions et autres homographies reçoivent ainsi une interprétation algébrique simple ; elles deviennent aisément manipulables. Grâce à l’outil puissant des nombres complexes, des résultats de géométrie peuvent se démontrer, voire être découverts, comme le théorème de Marden. Des notions, comme celle des fractales, peuvent être mises en valeur. Un logiciel de géométrie dynamique devient alors un outil fantastique pour de telles explorations.

Dossier : Analyse et trigonométrie
Les nombres complexes ont permis une extraordinaire correspondance entre des domaines des mathématiques qui paraissaient lointains : algèbre et géométrie, on l’a vu, mais aussi analyse et trigonométrie, qui s’en sont trouvées totalement bouleversées. En autorisant la variable d’une brave fonction réelle à prendre des valeurs dans, Leonhard Euler et surtout Bernhard Riemann ont ouvert une boîte de Pandore aux accents grecs (gamma, zêta...) dont personne n’aurait pu imaginer la richesse. L’exponentielle s’est enfin épanouie, et avec elle toute la trigonométrie, dont les formules deviennent accessibles à tous ! La fonction zêta fait maintenant miroiter mille merveilles, notamment au sujet des nombres premiers. Mais gare au téméraire qui abordera l’hypothèse de Riemann : le million de dollars promis pour sa démonstration témoigne à lui seul de l’ampleur et de la difficulté de la tâche...

Dossier : Applications
« À quoi servent les mathématiques ? » est une question que certains continuent à poser. Alors, les nombres « imaginaires », n’en parlons pas... Et pourtant, sans les nombres complexes, il y a fort à parier que les scientifiques n’auraient pas trouvé ces nouveaux algorithmes puissants qui permettent de multiplier extrêmement rapidement deux nombres gigantesques, réduisant de manière considérable les temps de calcul des ordinateurs. De même, sans les complexes, la théorie de l’électricité, cette fée dont plus personne ne saurait se passer aujourd’hui, ne serait probablement pas aussi cohérente. Et l’on serait bien en peine de concevoir des ailes capables de porter un avion dans les airs, ou de modéliser finement les trajectoires des planètes...

Bib 62 - Mathématiques et économie

Parution: 01 - 2018

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Les principaux dossiers :
• Le triangle économie, mathématiques et politique
• La macro-économie
• La micro-économie
• Rencontres entre économie et mathématiques
• Une science statistique

Bib 61 - La théorie des ensembles

Parution: 12 - 2017

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L’ouvrage

La théorie des ensembles a laissé un souvenir à tous ceux qui sont passés par les « maths modernes ». Son cadre axiomatique, que certains ont pu percevoir comme rigide, permet de « dérouler » l’ensemble du savoir mathématique. Comment ? C’est ce que propose de découvrir cet ouvrage en levant le voile sur l’origine et la construction de cette théorie.
Tout est parti d’un malaise scientifique profond, la crise des fondements. L’édifice mathématique, que l’on croyait solide et inaltérable, était en fait morcelé de contradictions et d’objets mal définis ! L’introduction des ensembles à la fin du XIXe siècle a permis d’assainir la situation, tout en donnant naissance à son lot de paradoxes, d’impossibilités, de situations défiant l’intuition...
Un ensemble est une collection d'objets entre lesquels peuvent exister des relations diverses. C’est ainsi qu’émergent les notions de structures et de fonctions, qui régissent la majorité des concepts mathématiques. La construction des nombres et une nouvelle approche de la géométrie en découlent de manière naturelle. Une telle simplicité conceptuelle confère aux ensembles et aux fonctions une efficacité redoutable !
Aux fondements des
Mais choisir les bons axiomes pour développer la théorie des ensembles et décrire les mathématiques (et, au-delà, toutes les sciences !) n’est pas une mince affaire...

Le sommaire

Dossier : Histoire d’une théorie révolutionnaire
La théorie des ensembles est l’archétype même d’une théorie structurante. Cette architecture abstraite n’est pas sortie de nulle part : elle trouve son origine dans des problèmes relatifs aux fondements des mathématiques durant le XIXe siècle.

L’œuvre mathématique de Bourbaki - Une approche des mathématiques qui dérange - Lewis Caroll, vers la logique moderne - Premières utilisations des ensembles - Le jeu de Dobble - Borges, la Bibliothèque de Babel - L’hôtel de Hilbert

Dossier : Ensembles, relations, applications : une nouvelle approche
Au-delà de leur représentation naïve en «patatoïdes» connue sous le nom de «diagrammes de Venn», les ensembles offrent un cadre à une formalisation rigoureuse applicable à tous les domaines des mathématiques.

De la collection d’objets à l’ensemble - L’ensemble et ses parties - Les diagrammes en patate, une idée qui donne la frite - Relations et applications : structurer les ensembles - Éblouissantes relations binaires - La médaille Hausdorff - Construire des nombres, une histoire au long cours - Un pour un - Le nom des éléments d’un ensemble

Dossier : Opérations, structures, nombres
Les nombres sont au centre de l’édifice mathématique. Après un long règne de l’intuition, le besoin d’une axiomatique rigoureuse s’est fait sentir. Celle introduite par Péano pour définir les entiers naturels en est le plus bel exemple. Les opérations, elles aussi, entrent dans un cadre structurel d’une grande richesse.

Kurt Gödel et l’indécidabilité - Adhérez aux groupes ! - Qu’est-ce qu’un groupe ? - La dimension fractale de l’ensemble triadique - La naissance des concepts algébriques - L’algèbre logique de George Boole.

Dossier : Infini et paradoxes
Une étude des axiomes sur lesquels la théorie des ensembles est fondée fait émerger la notion d’infini, mais aussi des paradoxes : un ensemble peut-il être membre de lui-même ? Combien de types d’infinis existent-ils ?

Une brève histoire de l’infini - Georg Cantor : passer du fini à l’infini - La multiplicité des infinis - Le roman de Lotfi Zadeh - Les ensembles flous : modéliser les appartenances incertaines - John von Neumann, mesure et démesure

Dossier : Axiomatique
On reproche souvent à la théorie des ensembles son caractère formel, abstrait, axiomatique. Pourtant, de nombreuses richesses émanent d’un cadre général que l’on pourra décliner selon les envies et les besoins !

Mais que sont les axiomes ? - La tentative de Zermelo pour éliminer les paradoxes - L’axiome du choix, si naturel, et pourtant si étonnant... - L’axiomatisation du hasard - Aux sources de la topologie - Dix problèmes en patates

Bib 60 - Mathématiques et architecture

Parution: 07 - 2017

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L’ouvrage
On pourrait s’attendre à ce que les liens qui se sont tissés entre mathématiques et architecture soient de nature purement géométrique. Il est étonnant de voir que de nombreux autres domaines sont aussi concernés : celui des nombres et des proportions (où l’on trouve le fameux nombre d’or), celui de la réalisation d’outils rationnels précis, et même celui de l’arbitrage entre l’exactitude et l’esthétique.

Le sommaire
• L’espace et la forme : Dire que la géométrie est nécessaire à l’architecte est une évidence. Non seulement il y a un dessin à la conception de toute réalisation architecturale, mais le choix même de la forme d’un bâtiment est dicté par des impératifs géométriques.
• Nombres et proportions : La question des rapports entre les différentes dimensions d’une construction a joué un rôle crucial à toutes les époques, de l’Antiquité à l’ère contemporaine. Parmi ces rapports, la « divine proportion » (c’est ainsi qu’on a longtemps nommé le nombre d’or) a inspiré les plus grands architectes.
• Faire solide : Pour réaliser des ambitions toujours plus complexes, les architectes doivent résoudre des équations et disposer d’outils rationnels précis que seules les mathématiques peuvent contribuer à créer.
• Des progrès en miroir : Pas plus que les mathématiques ne sont une science figée, l’architecture invente encore et toujours… Les nécessités croisées ont contribué à des avancées notables : dans le domaine de la perspective ou de la symétrie, bien sûr, mais aussi les calculs algébriques ou de nouvelles approches des courbes.
• Le beau et l’exact : Délimiter la place de l’esthétique dans une construction, c’est fixer le rôle de chaque paramètre au profit de la seule dimension qui compte : l’oeuvre. Les mathématiques permettent ainsi aux architectes de génie de laisser s’exprimer leur créativité dans un cadre où l’imaginaire côtoie la rigueur.

La collection et les auteurs
Bibliothèque Ta n g e n t e est LA collection de prestige de la culture mathématique, la référence de tous les lecteurs scientifiquement curieux. Avec plus de 50 titres, des contenus soigneusement dosés pour être accessibles au plus grand nombre, une mise en page luxueuse, elle propose une nouvelle façon de découvrir le monde ! L’équipe de Tangente, dirigée par Gilles Cohen et Bertrand Hauchecorne, comporte les meilleurs auteurs français de vulgarisation mathématique.

Bib 59 - La droite

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L’ouvrage

La droite, objet le plus familier de la géométrie, prend selon les contextes, le nom de ligne, d’axe, d’horizon, de direction, de trait… Son importance en géométrie peut se mesurer au nombre extraordinaire de mathématiciens et savants qui ont laissé leur nom à la figure contenant une droite qu’ils ont mise en évidence.
Mais la droite n'est pas cantonnée à la géométrie : elle est de manière naturelle associée à la représentation des nombres réels, ce qui ouvre tout un champ d’étude.
Au-delà, son usage est encore sans limite : des illusions d'optique au graphisme, les frontières même de la droite se brouillent, pour le plus grand plaisir des lecteurs de ce livre !

Le sommaire

• La droite des réels : De la notion intuitive de droite à l’ensemble R des nombres réels, il n’y a qu’un pas, que Descartes est l’un des premiers à avoir franchi. Cette droite numérique a débouché, avec Cantor et au XXe siècle, sur la topologie.
• La droite dans le plan : C’est Euclide qui est à l’origine de la propriété caractéristique de la droite dans le plan dit « euclidien » : joindre deux points par le tracé le plus court. Depuis, d’innombrables théorèmes sur des catégories de
points alignés ont vu le jour. Et pour les représenter, Descartes a mis la droite en équation.
• La droite dans l’espace : Dans l’espace, la droite obéit à non plus une mais deux équations. Saviez-vous qu’il existe des surfaces aux courbures impressionnantes uniquement faites de droites, les surfaces réglées ?
• Les usages de la droite, classiques ou hors normes : La droite sert également à appocher une courbe localement (c’est la tangente), ou à l’infini (c’est l’asymptote). Et si on représente une famille (on dit un « faisceau ») de droites, on
voit apparaître une courbe (l’enveloppe) dont les droites du faisceau sont les tangentes.
Le principe qui définit la droite peut se généraliser : quel est le plus court chemin sur une surface non plane ? C’est l’occasion d’entrer dans de nouveaux espaces : sphériques, hyperboliques… ou encore plus exotiques.

La collection et les auteurs

Bibliothèque Ta n g e n t e est LA collection de prestige de la culture mathématique, la référence de tous les lecteurs scientifiquement curieux. Avec plus de 50 titres, des contenus soigneusement dosés pour être accessibles au plus grand nombre, une mise en page luxueuse, elle propose une nouvelle façon de découvrir le monde ! L’équipe de Tangente, dirigée par Gilles Cohen et Bertrand Hauchecorne, comporte les meilleurs auteurs français de vulgarisation mathématique.

Bib 58 - Mathématiques et médecine

Parution: 01 - 2017

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Les maths au service de notre santé

L’ouvrage

On connaissait l’usage des probabilités pour dépister certaines maladies ou pour tester l’effet de vaccins ou de médicaments, en intégrant en particulier ce qu’on appelle l’effet placebo. On a progressé ces dernières décennies dans la connaissance de la propagation des épidémies, ce qui a considérablement affiné la lutte contre elles et donné plus de sens à la façon d’utiliser la vaccination.
Mais les progrès récents de la médecine dans leurs différentes directions (étude de l’ADN, imagerie, objets connectés, lutte contre le cancer) utilisent encore plus de mathématiques : statistiques, bien sûr, mais aussi géométrie, analyse de Fourier, équations différentielles, systèmes dynamiques, théorie des ondelettes…

Le sommaire

• Statistique et médecine : un mariage de raison. Que ce soit pour comparer les effets de médicaments différents ou de placebos, pour déterminer un indice de masse corporelle idéal ou pour quantifier la fiabilité d'un test de dépistage, le recours aux raisonnements statistiques et probabilistes se révèle indispensable en médecine.
• Épidémiologie : La transmission externe des microbes ou des virus comme la propagation interne de cellules malignes se fait selon des algorithmes dont la modélisation est régie par une branche des maths : les systèmes dynamiques.
• Techniques médicales : Derrière les nouvelles techniques médicales (imagerie, objets connectés, lutte contre le cancer…), se cachent plus que jamais des mathématiques, parmi lesquelles des branches créées spécifiquement.
• Raisonnements médicaux : Que ce soit à des fins de diagnostic ou de choix de thérapie, la médecine utilise une nouvelle forme de raisonnement qui accroît son efficacité, mais comporte des risques quand elle est mal utilisée. De nombreux médecins et mathématiciens, d’Hippocrate et Galien aux scientifiques les plus modernes, s’y sont intéressés.

Collection : Bibliothèque Tangente
Prix public : 22€
ISBN: 9782848842011
Format : 17 x 24 cm, quadrichromie.
Nombre de pages : 176
Parution : janvier 2017

Bib 57 - Les mathématiques des assurances

Parution: 03 - 2016

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L’ouvrage
Les aléas de la vie sont nombreux : les particuliers essaient de mettre leurs proches à l'abri, les professionnels de se prémunir contre les risques financiers ou climatiques.
Seules les mathématiques du hasard sont à même de proposer des modèles intégrant de manière satisfaisante ces composantes aléatoires. Les premières rentes viagères datent de… l’Antiquité !
Durant des siècles, ont été proposés des produits financiers, évidemment moins sophistiqués que ceux d’aujourd'hui. Et puis, au XVIIIe siècle, la statistique a émergé entant que discipline scientifique autonome.
Il devient possible de collecter des données fiables, d’établir des tables de mortalité et de résoudre d'innombrables problèmes. Aujourd’hui, les actuaires manipulent des chaînes de Markov, des mouvements browniens et même des outils de théorie des jeux et de mathématiques de la décision !

Le sommaire
Assurance vie : la naissance de la statistique, la récolte des données, l'établissement des tables de mortalité, la tarification et la mensualisation.
Actuariat accident : prendre en compte les évènements rares, tarifer a priori et a posteriori, gérer les risques météo, se prémunir contre… l’enlèvement.
Gérer ses réserves : comment une compagnie d’assurance garantit l'indemnisation tout en évitant la ruine ; le problème de la ruine du joueur.
Les retraites : le vieillissement de la population, le financement. Baisser les pensions ou augmenter les cotisations ? Répartition ou capitalisation ?
Dans la peau de l’assuré : comment optimiser sa situation grâce aux mathématiques ?

Collection : Bibliothèque Tangente
ISBN: 9782848842004
Format : 17 x 24 cm, quadrichromie.
Nombre de pages : 160
Parution : mars 2016

Bib 56 - Les fonctions

Parution: 04 - 2016

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Sortie reportée à fin avril 2016
L’ouvrage
La notion de fonction, omniprésente dès les origines des sciences, se précise au XVIIe siècle pour les besoins de la physique.
Il devient alors possible, grâce au calcul infinitésimal, d'étudier les trajectoires, vitesses et accélérations d'objets en déplacement, comme les billes... ou les planètes.
L'intuition physique doit alors faire place à la rigueur d'un raisonnement mathématique. C’est l’occasion pour Newton, Leibniz et Bernoulli de mettre en évidence le concept sur lequel s’appuyer : celui des fonctions, précisément !

Le sommaire
Naissance d'un concept : mise en correspondance entre ensembles, des applications aux fonctions, graphe d’une fonction, notions de courbe et de surface…
Continuité et dérivabilité : intuition physique, tangente et nombre dérivé, calcul différentiel et intégral, approximations (interpolation, extrapolation…).
Résolution d’équations : équations algébriques, équations différentielles…
Grands théorèmes : valeur intermédiaires, Rolle, inversion locale, fonctions implicites.
Au-delà des fonctions : variables aléatoires, impulsions et distributions, fractales, programmes informatiques…

Collection : Bibliothèque Tangente
ISBN: 9782848841991
Format : 17 x 24 cm, quadrichromie.
Nombre de pages : 160
Parution : avril 2016

Bib 55 - Les démonstrations

Parution: 11 - 2015

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Dossier : Les fondements de la preuve

La possibilité de convaincre avec une absolue certitude fait à elle seule la spécificité des mathématiques, la différenciant des autres sciences. Tout au long d'une longue histoire, qui remonte aux Grecs de l'Antiquité et qui continue à s'écrire aujourd'hui, la recherche d'une justification, d'une preuve, d'une démonstration, a constitué l'activité qui caractérise le mathématicien.

Dossier : Les grands classiques

Les différents modes de démonstration sont aujourd'hui bien établis. Certains datent de l'Antiquité, d'autres sont nés en France au XVIIe siècle. Le raisonnement par récurrence, qui est selon Henri Poincaré « une propriété de l'esprit lui-même », est plus récent. Tout l'art est de comprendre quelle technique de raisonnement s'appliquera à un problème donné...

Dossier : De nouvelles formes de preuves

Si les bases de la logique sont désormais bien établies, de nouveaux outils pour la démonstration continuent à être introduits en mathématiques. L'arrivée des ordinateurs pose plusieurs questions fondamentales: les algorithmes utilisés produisent-ils toujours un résultat, ou peuvent-ils boucler sans fin ? Peut-on distinguer un problème « facile » d'un problème « difficile»?

Dossier : Les apports de l’informatique

L'informatique théorique est la science qui nous a le plus obligés à repenser la notion de preuve. Les analogies entre démonstration mathématique et programme informatique sont maintenant bien établies. L'ordinateur offre des moyens de calculs inédits. Il devient même possible de certifier qu'une preuve mathématique est effectivement valide.

Bib 54 - Les graphes

Parution: 08 - 2015

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Dossier : Les types de graphes

Quelques points et des traits pour les relier suffisent à créer un graphe. Une idée aussi simple se devait d’engendrer un monde foisonnant d'objets: les idées les plus élémentaires sont souvent les plus riches!

Dossier: Des applications à la vie quotidienne

De par leur structure purement topologique, les graphes sont un puissant outil d'aide à la décision. Ils sont utiles pour planifier et ordonnancer les tâches dans une chaîne de production, gérer les priorités dans un projet, ou hiérarchiser les étapes dans une suite d’instructions informatiques...

Dossier : Dans L'informatique

Que serait la théorie des graphes aujourd'hui sans l'informatique ? Qu'il s'agisse de trier des données, de compresser des fichiers ou de rechercher un mot dans un texte, on retrouve partout une structure de graphe dans un ordinateur.

Dossier : Jeux de graphes

La théorie des graphes permet de comprendre, voire de résoudre une grande quantité de jeux de réflexion ou de jeux mathématiques et logiques, parfois de manière inattendue (voir à ce sujet le numéro 46 de la Bibliothèque Tangente). A contrario, les graphes peuvent être à la source d'une catégorie de récréations dont les plus classiques sont des problèmes de labyrinthes.

Bib 53 - Les angles sous tous les angles

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Sommaire

Dossier : Les angles en géométrie classique

Chacun de nous les a rencontrés à l'école et pense tout savoir d'eux, qu'ils soient exprimés en grades, degrés ou radians. Les outils qui permettent de les construire sont connus de tous: règle, compas, rapporteur... Pourtant, la notion d'angle n'est pas si simple, à commencer par sa définition!

Dossier : La trigonométrie

La trigonométrie n'a pas toujours bonne presse. Elle est pourtant d'une importance capitale pour se repérer, tant en mer que dans l'espace. L'approche géométrique des nombres complexes lui a donné ses lettres de noblesse.

Dossier : Mesurer les angles

Le plus simple pour mesurer un angle est de prendre son rapporteur. Très bien, mais comment mesurer des angles sur le terrain, entre des éléments de paysage? Ou en mécanique de précision? Ces questions nécessitent de revenir au sens physique de l'angle.

Dossier : La géométrie dans l’espace

Dans l'espace, la notion d'angle solide s'inspire de celle d'angle du plan. À la différence près que si les rotations du plan sont aisées à comprendre, leurs homologues en trois dimensions ne se laissent pas appréhender de la même manière...

Bib 52 - Mathématiques &Informatique

Parution: 07 - 2014

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L'informatique est avant tout un système de représentation de l'information. Les bouleversements induits par son développement foudroyant sont tels que de nouveaux domaines de la connaissance ont vu le jour. Sans les mathématiques, aucun de ces progrès ne serait possible. Mais l’informatique a aussi permis aux mathématiques d’ouvrir de nouveaux champs.


Le sommaire :
• Les origines de l'informatique : la pascaline, la machine de Babbage, Ada Lovelace et la programmation, la naissance de l'algorithmique.
• Les apports des mathématiques à l’informatique
• Les apports de l’informatique aux mathématiques
• Des applications innombrables : sciences de l'ingénieur (modélisation, calcul intensif, représentation), musique et jeux vidéo, communications...

Bib 51 - Mathématiques, de l'esthétique à l'éthique

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Dossier : La beauté intrinsèque des mathématiques

Tous les mathématiciens vous le diront: les mathématiques sont belles. Il est cependant parfois difficile pour le profane de saisir le sens d'une telle affirmation. Qu'est-ce qui peut susciter le sentiment esthétique dans un domaine aussi abstrait?

Dossier : La beauté artistique révélée par les maths

Qu’ils soient peintres, poètes ou compositeurs, nombre de créateurs utilisent, consciemment ou non, des processus qui peuvent être analysés grâce aux mathématiques. La littérature et la musique s’y prêtent à merveille, mais, au-delà de la symétrie, la photographie et les arts plastiques permettent des dialogues inattendus avec les mathématiques.

Dossier : Éthique et mathématiques

Les mathématiques sont peut-être, plus que toute autre discipline scientifique, un trait d’union privilégié entre le beau et le bon. Leur utilisation dans des sujets sensibles comme la guerre, la finance ou l’assurance-vie, le rôle d’outil de sélection qu’elles jouent dans l’enseignement, peuvent alors être questionnés.

Dossier : Éclectique Jacques Bair

À l’occasion du départ à la retraite de Jacques Bair, Tangente consacre un court dossier à l’un de ses collaborateurs les plus dévoués, qui s’est investi corps et âme dans la diffusion des mathématiques en s’appuyant sur ses passions (ses « tics » diraient certains):l’analyse non standard et les mathématiques de la gestion.

Bib 50 - Le calcul integral

Parution: 03 - 2014

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Dossier : L’intégrale de Riemann

L’intégrale, outil analytique par excellence, répond à l’origine à un besoin de nature géométrique: calculer l’aire délimitée par des courbes du plan.

Dossier : Les bases du calcul intégral

Une fois l’intégrale définie et son usage délimité, se pose la question de son calcul. Si certaines méthodes n’exigent qu’un minimum de technique, la plupart des intégrales nécessitent un calcul qui passe par la détermination de primitives de la fonction à intégrer.

Dossier : Extensions de la notion d’intégrale

L’histoire de l’intégrale ne s’arrête pas avec Riemann, ni même avec Lebesgue! Sa construction non plus. De nombreux mathématiciens ont cherché à étendre la notion d’intégrale à des classes de fonctions de plus en plus générales, pour simplifier la présentation ou pour les besoins d’une application.

Dossier : L’intégrale en analyse

L’intégrale est omniprésente en mathématiques et dans les applications. Elle intervient aussi bien en physique qu’en théorie du signal ou en tomographie, et dans pratiquement tous les domaines de l’ingénierie et de la finance.

Bib 49 - Les maths de l'impossible

Parution: 11 - 2013

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Dossier : C’est impossible, on l’à montré

De nombreux problèmes datant de l'Antiquité ont été prouvés insolubles, alors même qu'ils étaient bien posés. Certains sont devenus de grands classiques.

Dossier : Variations autour de la notion de preuve

les sciences progressent souvent en posant des questions qui reflètent l'intuition de leur auteur. En mathématiques, ces questions reçoivent le nom de conjectures. Parfois des démonstrations sont fournies, mais si difficiles à reproduire qu'un doute subsiste sur leur validité. L’outil informatique peut alors être d'un grand secours.

Dossier : Ils existent, mais où sont-ils

En mathématiques, il est possible de démontrer que des objets existent sans jamais les exhiber. On parle alors de preuves non constructives. Cela pose sous un angle nouveau la question de l'existence en mathématique: suffit-il de définir un concept pour lui donner vie, ou doit-on explicitement le construire ?

Dossier : Jouer avec l’impossible

Il est facile, si l'on n'y prend garde, de tomber dans le piège d'un raisonnement subtilement erroné. Plusieurs paradoxes reposent sur de telles manipulations. Des esprits curieux vont alors explorer les conséquences des règles de la logique, par exemple pour résoudre un problème d'apparence impossible dont il semble que toutes les données soient manquantes.

Bib 48 - Ambassadeurs français des mathématiques

Parution: 11 - 2013

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Dossier : Grands mathématiciens français

Les grands mathématiciens français ne se sont pas tous enfermés dans leur tour d'ivoire. Quelques-uns d'entre eux ont fait plus que produire de brillants résultats: ils Ont marqué leur temps et porté haut les couleurs de la France par l'influence qu'ils ont eue.

Dossier : Les vulgarisateurs

Ils aiment les mathématiques, mais ils ont surtout envie de les faire aimer. Pour s'adresser au public, ils ont su utiliser les facettes les plus aimables de la reine des sciences, en les déclinant pour toucher toutes les sensibilités. Portrait de quelques-uns de ces acteurs souvent peu connus.

Dossier : Les écrivains

Ils ont un talent d'écriture reconnu, ils aiment les mathématiques et ils ont envie de le faire savoir. Certains ont été des écrivains reconnus avant de faire connaître ce goût et de contribuer à la diffusion de l'image des mathématiques. D’autres sont « matheux» à l'origine ct ont réussi, grâce à leur talent littéraire, à mettre en scène les mathématiques et à faire parler d'elles.

Dossier : Math Quiz

Et si on s'amusait un peu pour finir ce hors série? Avec les maths et avec la langue française? En distinguant les connaissances des idées reçues?
Douze petits questionnaires aux thèmes variés vous attendent, créés à l'occasion des 25 ans du magazine Tangente.

Bib 47 - La magie des invariants mathématiques

Parution: 07 - 2013

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Dossier : Les invariants en arithmétique

L'un des invariants les plus élémentaires qui soient est la parité. Pourtant, il permet déjà de résoudre une multitude de problèmes et de comprendre bon nombre de casse-tête. La parité permet par exemple de comprendre pourquoi le Taquin ne peut être résolu. D'autres invariants de même nature, tels que les congruences ou la signature des permutations sont utilisés, par exemple pour confectionner des codes correcteurs d'erreurs.

Dossier : Les invariants en géometrie

Comment distinguer les différentes géométries apparues au cours des siècles? La réponse fournie par Felix Klein repose tout entière sur la notion d'invariant. Depuis, les invariants sont omniprésents: la recherche de points fixes, de propriétés ou de lieux fait généralement intervenir un invariant géométrique.

Dossier : Les invariants en analyse et en typologie

L'introduction par Henri Poincaré de nouveaux inva¬riants en topologie à la fin du XIXe siècle constitue un progrès scientifique majeur. Quelques années plus tard, Emmy Noether explique comment les lois de la physique découlent de la recherche d’invariants mathématiques.

Bib 46 - Théorie des jeux

Parution: 02 - 2013

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Qu’ont en commun un problème de grains de riz sur un échiquier, la recherche d’une stratégie gagnante dans un jeu de société, la notion d’équilibre en économie, les comportements sociaux, l’art de la guerre et l’établissement d’un juste prix lors d’une vente aux enchères ?
Tous relèvent d’une même branche des mathématiques : la théorie des jeux.
Les jeux à information complète, tels que les échecs ou le go, utilisent les mathématiques discrètes et la logique. Ceux a information incomplète, comme le poker, mobilisent en outre des notions probabilistes pour tenter d’apprivoiser une part de hasard. Et aujourd’hui, l’outil informatique est venu « modifier la donne », en offrant des capacités de calcul qui permettent de rivaliser avec les plus grands champions ou de rassembler d’immenses communautés de joueurs.
Nos autres dossiers :
Les jeux à information complète
Les jeux à information incomplète
Les probabilités dans la théorie des jeux
Jeux et enjeux

Bib 45 - Maths et politique

Parution: 06 - 2012

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"Gouverner, c'est prévoir" selon Émile de Girardin. L'art de la prévision étant régi par les mathématiques, on peut s'attendre à ce que les hommes d’État accordent un grand crédit à cette discipline.
Déjà dans l'Antiquité, philosophes et mathématiciens étaient très étroitement mêlés à la vie et au bon fonctionnement de la Cité. Ces relations sont encore plus fortes aujourd'hui que la politique s'occupe d’économie, de social, de démographie et questions sociétales. Elles ont inspiré plusieurs thèmes de cet ouvrage :
- principe de précaution,
- modèles des retraites,
- calcul de l'impôt,
- manipulation des chiffres...
Les outils utilisés sont ceux de la statistique, de la théorie des jeux, de l'aide à la décision et des mathématiques sociales, autant d'instruments qui sont indispensables à une gouvernance saine et rationnelle.

Bib 44 - Matrices

Parution: 09 - 2012

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Les matrices sont, à la base, de simples tableaux de nombres. Il y a moins de deux siècles, on défini des opérations pour manipuler ces tableaux, ce qui a bouleversé l'approche de plusieurs objets ou notions mathématiques.
Les transformations géométriques, notamment, s'étudient plus aisément avec les outils matriciels. Plus généralement, tout ce qui est de dimension fini dans le monde qui nous entoure, et tout ce qui peut être modélisé, tombe sous leur influence.
Cette caractéristique a trouvé sa pleine expression avec l'avènement de l'informatique. L'économie, l'actuariat et la finance en sont friandes. L'électronique et toutes les sciences de l'ingénieur ne peuvent plus s'en passer.
Même le grand public est directement concerné : derrière chaque Sudoku, chaque grille logique, chaque carré magique se cache une matrice, souvent utile dans sa résolution.

Bib 43 - Maths et Chimie

Parution: 03 - 2012

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Une sélection « Notes de lecture Tangente magazine »

Les mathématiques et la chimie dont deux piliers de la science moderne. Leurs origines sont séculaires et leurs racines profondes : les Grecs anciens associaient déjà la matière à certains polyèdres.
Par la suite, un géant tel que Newton se passionnaient pour l'alchimie aussi bien que pour les lois mathématiques qui régissent le monde physique. Quant au XXe siècle, il marque l'avènement de la conception quantique du monde.
Aujourd'hui, de la cristallographie au génie chimique en passant par les oxydoréductions, la thermochimie ou l'atomistique, il apparaît que les mathématiques discrètes, les transformations géométriques, les fractales, les systèmes dynamiques ou les équations dérivées partielles sont indispensables. Venez découvrir que, là encore, le cloisonnement n'est pas de mise !
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