Si vous êtes un « vieil » abonné à Tangente, vous le possédez forcément. Mais si ce n’est pas le cas, c’est une bonne occasion de vous le procurer. Le numéro 13 de la Bibliothèque Tangente est un recueil de tout ce qu’un honnête homme a besoin de savoir sur l’infini.

Comment définir l’infini ? Comment énoncer une infinité de vérités ? Comment donner un sens à une somme infinie de nombres ? Ces questions sont d’autant plus épineuses que l’infini s’avère multiple : il est dénombrable ou non, discret ou continu, il soulève des problèmes différents pour le physicien, le probabiliste ou le spécialiste en topologie. La tentation d’appréhender l’infini comme prolongement du fini est immédiate. Cependant une telle démarche est parfois source de paradoxes, défiant notre intuition de cardinal ou d’ordre de grandeur. Pour l’aborder, les mathématiciens ont dû réapprendre à raisonner et se doter d’outils spécifiques, qui se nomment récurrence, bijection, inversion géométrique…

 

C’est ce que nous apprend la première partie, « Du fini à l’infini et réciproquement ». Connaissez-vous l’équivalent des ensembles finis en topologie ? On les appelle des compacts. Quant aux probabilités sur des ensembles infinis, elles mènent à des méthodes surprenantes qui consistent, quand on ignore la taille d’un objet, à faire des tirages aléatoires pour la mesurer.

 

« Raisonner avec l’infini », c’est d’ailleurs le titre de la deuxième partie de l’ouvrage. De la récurrence à la descente infinie, de l’analyse non standard au calcul sur les séries, de l’axiome du choix à l’axiome (ou « hypothèse ») du continu, point de départ de la troisième partie : « Discret et continu ». On y redécouvre toutes les façons de définir les nombres réels, méthodes autrefois très en vogue, en faisant des incursions en physique mathématique ou en philosophie. De là à nager en pleins paradoxes, il n’y a qu’un pas, franchi dans la dernière partie, « Les paradoxes de l’infini ». Hôtel Hilbert, paradoxe de la biographie, de Jules Richard, du menteur revisité…

Un voyage dans l’infini qu’il faut avoir fait !